Beispiel: Tragwerksstruktur mit gelagerter Maschine

Problembeschreibung:
Die Lagerung von Maschinen auf elastischen Strukturen ist eine wichtige Aufgabe in der Maschinendynamik. Neben dem dynamischen Verhalten der Maschine ist ebenfalls eine Betrachtung der Eigenschaften der Grundstruktur von Bedeutung, insbesondere der Lagerstellen. Hier können die in das Fundament eingeleiteten Vibrationen durch eine elastische Ausführung der Lagerung reduziert werden. In diesem Beispiel wird ein Verbrennungsmotor in einem Schiffsrumpf betrachtet (siehe Abbildung 1). Hierbei ist es möglich die eingebrachten Vibrationen entweder durch eine Optimierung der Lagerung oder zusätzlich angebrachte Reduktionsmaßnahmen zu mindern.

 

Abbildung 1: Verbrennungsmotor in einem Schiff 

Vereinfachung der Struktur:
Zunächst wird der Motor als fest mit der elastischen Struktur verbunden betrachtet. Hierauf aufbauend wird der Einfluss der maschineninduzierten Vibrationen bestimmt und mögliche passive Verfahren zur Schwingungsreduktion betrachtet. Reale Strukturen weisen häufig einen hohen Grad an Komplexität auf. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, grundlegende Untersuchungen an vereinfachten Strukturen durchzuführen. Im vorliegenden Fall wird die Grundstruktur als gelenkig gelagerter Balken mit dem E-Modul E, dem Flächenträgheitsmoment I und der flächenbezogenen Dichte µ betrachtet (siehe Abbildung 2). Der idealisierte Motor kann als Unwuchterreger mit der Gesamtmasse m, der Drehfrequenz Ω und der Unwuchtmasse m_u, welche sich um den Radius r bewegt. Die resultierende Kraft des Unwuchterregers ergibt sich hierbei zu F(t)=m_urΩ²sin(Ωt)[1].

Abbildung 2: Vereinfachung der Struktur als gelenkig gelagerter Balken und das hierzu äquivalente Feder-Masse-Dämpfer System mit einem Freiheitsgrad

Als Geometrie wird ein I-Profil der Länge 1200 mm mit einer Dicke von t= 50 mm und einer Höhe h= 300 mm aus Stahl mit einem E-modul von E= 210 kN/mm² und der Dichte ρ = 7850 kg/m³ angenommen (siehe Abbildung 3). Mit diesen Informationen kann das Flächenträgkeitsmoment berechnet werden mit I = t*h³/2 = 1.6e9 mm⁴ [2]. Unter Annahme einer vernachlässigbar geringen Dämpfung ergeben sich die ersten drei Eigenfrequenzen zu fn =(nπ^2)/2π √(EI/(µl^4 )), f₁ = 29.14 Hz, f₂ = 116.54 Hz und f₃ = 262.21 Hz, wobei die längenbezogene Masse angenähert wird mit µ=3ρht=471 kg/m . Die hierzu gehörenden Eigenmoden a₁, a₂ und a₃ sind in Abbildung 3 zu sehen.

Abbildung 3: Dimensionen des I-Profils und die ersten drei Eigenmoden

Als Motor wird ein 12 Zylindermotor mit einem Gesamtgewicht von 600 kg angenommen. Die Kolben haben jeweils eine Masse von 16 kg bei einem Hub von 190 mm. Der typische Frequenzbereich der ersten Ordnung hierbei liegt bei 13 – 33 Hz bei einer Drehzahl von 800 – 2000 rpm. Diesbezüglich ist die erste Resonanzfrequenz der Grundstruktur von besonderem Interesse, da sie im betrachteten Frequenzbereich des Motors liegt. Für die folgenden Simulationen wird das System als harmonischer Schwinger mit den modalen Parametern (Eigenfrequenz, modale Masse und Steifigkeit) betrachtet. Hierzu wird die Struktur auf eine Masse m_s, Steifigkeit k_s und Dämpfung d_s reduziert (siehe Abbildung 2). Als weitere Vereinfachung die Platzierung von Anregung (Position 1) und Sensor (Position 2) wird die Mitte des Balkens bei z = l/2 angenommen. Für die erste Mode kann die äquivalente Masse mit der Energiemethode berechnet werden zu m_s=∫µψ^2 dz. Für die sinusförmige Eigenform ψ=sin[πz/L] folgt m_s=(µL)/2=282.6 kg  [3]. Bezüglich der ersten Eigenfrequenz ergibt sich die Steifigkeit somit zu k_s=9470328 N/m. Als Dämpfung der Struktur wird ein Wert von d_s = 2000 kg/s angenommen, was einer equivalenten modalen Dämpfung von 4 % entspricht.

Tabelle 1: Parameter der Simulation 

Parameter	Wert
Dicke des Balkens	0.05 m
Höhe des Balkens	0.4 m
Länge des Balkens	1.2 m
Strukturdämpfung	2000 kg/s
E-Modul	210 kN/mm²
Dichte	7850 kg/m³
Masse des Motors	600 kg
Masse eines Kolbens	16 kg
Kolbenhub	190 mm
Drehzahlbereich	800 – 2000 rpm
Samplingrate in der Simulation	1e-3 s
Simulationszeit	30 s

Implementierung in Simulink^®:

 Abbildung 4: Simulink Block-Diagramm des gedämpften Ein-Massen-Schwingers

Die Simulationen im Zeitbereich werden mit Simulink durchgeführt. Hierzu wird das in Abbildung 4 zu sehende Modell erstellt, wobei Simulationen mit dem Fixed-step Löser (Runge-Kutta) bei einer festen Samplingrate von 1e-3 s für eine Zeit von 0 bis 30 s durchgeführt werden. Zur Implementierung des Modells werden die Blöcke aus AdaptroSim^TM Structure and Vibration verwendet, welche mit den abgeleiteten Daten parametrisiert werden. Für den Unwuchterreger wird ein Drehzahlbereich von 0 bis 3000 rpm gewählt mit einer Hochlaufgeschwindigkeit von 100 1/min/s.

Ergebnisse:
Die Ergebnisse der Kraft und Drehzahl des Unwuchterrgers und die Verschiebung der Masse im Zeitbereich sind in Abbildung 5 zu sehen. Besonders die Resonanz bei 16.5 Hz sticht heraus. Diese resultiert aus der direkten Kopplung der Maschinenmasse auf dem Balken.

Abbildung 5: a) Scope-Block im Simulink-Modell und b) Setup des Datenexports
Für eine Auswertung im Frequenzbereich werden die Zeitdaten zur Nachberarbeitung nach MATLAB exportiert. Hierzu wird der Scope-Block modifiziert, um die Daten im Workspace abzulegen (siehe Abbildung 5 b)). Eine Weiterverarbeitung der Daten erfolgt mit der ma_frequency_response Funktion

ma_frequency_response(ScopeData.time, ScopeData.signals(1).values, ScopeData.signals(3).values,{0,50})

Abbildung 6: Ergebnisse im Frequenzbereich

Die Übertragungsfunktion wird als Verschiebung der Masse mit Bezug zur Kraftanregung dargestellt. Es bildet sich deutlich die Resonanz für eine Frequenz von 16.5 Hz aus. Diese deckt sich mit dem Ergebnis aus der analytischen Lösung, welche sich für ein Ein-Massen-System berechnen lässt mit f=√(k/m)/(2π)=16.48 Hz.